(1) Číselné soustavy

Číselné soustavy

Osnova

 

  • způsob reprezentace čísel.
  • podle způsobu určení hodnoty čísla z dané reprezentace rozlišujeme dva hlavní druhy číselných soustav:
    • A) poziční číselné soustavy
    • B) nepoziční číselné soustavy.

A) Poziční číselné soustavy

  • charakterizovány tzv. základem neboli bází (anglicky radix, značí se r),
    • = kladné celé číslo definující maximální počet číslic, které jsou v dané soustavě k dispozici.
  • Poziční soustavy (kromě jedničkové) se nazývají také polyadické (= vlastnost, že číslo v nich zapsané lze vyjádřit součtem mocnin základu dané soustavy vynásobených příslušnými platnými číslicemi)

Mezi nejčastěji používané poziční číselné soustavy patří:

  • jedničková — unární, r=1
    • přestože si to ani neuvědomujeme, tuto soustavu běžně používáme při počítání na prstech nebo při psaní čárek označujících počet piv na účet v restauračních zařízeních. Může být řazena mezi speciální poziční soustavy nebo i zcela mimo dělení na poziční/nepoziční soustavy.
  • dvojková (BIN) — binární, r=2
    • přímá implementace v digitálních elektronických obvodech (použitím logických členů), čili interně ji používají všechny moderní počítače
  • osmičková (OCT) — oktální, oktalová, r=8
  • desítková (DEC) — decimální, dekadická, r=10
    • nejpoužívanější v běžném životě
  • dvanáctková — r=12
    • dnes málo používaná, ale dodnes z ní zbyly názvy prvních dvou řádů – tucet a veletucet
  • šestnáctková (HEX) — hexadecimální, r=16
    • používá se v oblasti informatiky, pro číslice 10 až 15 se používají písmena A až F
  • šedesátkovár=60
    • používá se k měření času pro zlomky hodiny; číslice se obvykle zapisují desítkovou soustavou jako 00 až 59 a řády se oddělují dvojtečkou; staré názvy prvních dvou řádů jsou kopa a velekopa.

Každé číslo vyjádřené v poziční soustavě (kromě jedničkové) může mít část celočíselnou a část zlomkovou (např. u desítkové soustavy desetinnou část). Tyto části jsou odděleny znakem, nazývaným desetinnou čárkou (přestože obecně nejde o desetiny). V anglosaských zemích je místo desetinné čárky užívána desetinná tečka.

Dvojková

= číselná soustava, která používá pouze dva symboly: 0 a 1.

  • poziční číselná soustava mocnin čísla 2.
  • Používá se ve všech moderních digitálních počítačích, neboť její dva symboly (0 a 1) odpovídají dvěma jednoduše rozdělitelným stavům elektrického obvodu
    • vypnuto × zapnuto
    • nepravda × pravda
  • Číslo zapsané v dvojkové soustavě se nazývá binární číslo.

Převod

Metoda substituční

  • Substituční metoda slouží k převodu mezi číselnými soustavami. Metoda spočívá v rozepsání převáděného čísla na polynom a následně jeho vyčíslení v cílové soustavě.

metoda_substituce

Eulerův algoritmus

  • dále

B) Nepoziční číselné soustavy

  • způsob reprezentace čísel, ve kterém není hodnota číslice dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic. Tyto způsoby zápisu čísel se dnes již téměř nepoužívají a jsou považovány za zastaralé
  • A=1, B=10, C=100, D=1000, pak by vyjádřením čísla 3542 mohl být například řetězec „AABBBBCCCCCDDD“, ale stejně dobře i „ACDABBCCCCDDBB“ apod. (z hlediska hodnoty, ale za cenu horší srozumitelnosti).

Nevýhody

  • Často neobsahovaly symbol pro nulu a záporná čísla
  • Dlouhý zápis čísel, která výrazně převyšují hodnotu největšího symbolu soustavy

Příklady nepozičních číselných soustav

  • Římské číslice (I, II, III, IV, V)
  • Egyptské číslice
  • Řecké číslice — zápisu čísel pomocí písmen alfabety

Římské číslice

způsob zápisu čísel pomocí písmen abecedy

dnes tento způsob zápisu výjimečný (použití viz dále)

Základní symboly

Římské
číslo
Arabské
číslo
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

 

  • Často mnemotechnické pomůcky: Ivan Vedl Xénii Lesní Cestou Do Města

Původ symbolů

I

  • Římská čísla vznikla přirozenou cestou. Římané počítali na prstech. Čísla jako 1, 2 a 3 a jím odpovídající znaky I, II a III graficky vyjadřují jednotlivé prsty.

V a X

  • Také tato dvě římská čísla mají svůj původ v lidské ruce:
  • Římská číslice V (5) je vyjádřením dlaně s pěti prsty – V tvoří tvar mezi palcem a malíčkem.
  • Římská číslice X (10) jsou dvě dlaně u sebe (10 prstů).

L a C

  • Latinsky sto je centum – odtud C. Padesát je polovina ze stovky. L tedy vzniklo „rozpůlením“ znaku pro 100 (C).

D a M

  • Tisíc je latinsky mille (odtud M pro 1000). Znak D pro 500 vznikl opět grafickým „půlením“ znaku M, tentokrát svisle. Vznikl tak znak podobný písmenu D.

Nula

  • Číslice nula nemá obecně svůj symbol, přestože Římané číslici 0 a její význam dobře znali.
    • ⇒ hlavní důvod, proč nebyl systém římských číslic přijat za poziční č.s. a byl postupně nahrazován arabskými číslicemi

 

Použití římských číslic dnes

  • díly čí série knih či filmů (v tomto významu jsou vytlačovány arabskými číslicemi)
  • ročníky časopisů či novin (v tomto významu jsou vytlačovány arabskými číslicemi)
  • kapitoly v knihách či článcích (v tomto významu jsou vytlačovány arabskými číslicemi)
  • opakované společenské, sportovní a jiné události (soutěže, závody, přehlídky, sjezdy a slety, války, festivaly, veletrhy, výstavy apod.), ve většině případů však již v praxi začínají převládat arabské číslice
  • rok (prakticky jen na historických nápisech, v moderních textech se používají výhradně arabské číslice)
  • století (v tomto významu jsou vytlačovány arabskými číslicemi)
  • měsíce v roce (v tomto významu jsou vytlačovány arabskými číslicemi)
  • pořadové číslo čtvrtletí (používají se ale i arabské číslice)
  • pro číslice na hodinovém ciferníku
  • pořadová čísla panovníků (např. Karel IV.), pro tento účel se stále používají takřka výhradně římské číslice
  • čísla místních částí obce – v minulosti tvořilo římské číslo místní části dvojici s číslem popisným, nyní se místo něj běžně používá název místní části; označení čtvrtí římskými čísly přežívá jen v některých městech, například Děčíně, částečně v Pardubicích či Mladé Boleslavi atd.
  • třídy silnic (I, II, III) – např. „silnice I. třídy“, „silnice II/201“,
  • souběžné ulice, které jinak mají stejný název (pouze v některých místech, kde bylo názvosloví inspirováno americkými systémy, například na pražském Spořilově)
  • díly či části obcí či katastrálních území či obce, které by jinak měly stejný název, pokud nejsou rozlišeny slovním přívlastkem
  • v českých právních předpisech se podle aktuálních legislativních pravidel vlády římskými čísly bez tečky označují varianty návrhů, čísla článků v novelách předpisů a hlavy (celek nižší než část a vyšší než díl).

V polštině se římské číslice používají takřka výhradně při uvádění století (např. 19. století je XIX wiek).

 IIII nebo IV

  • Hodinové ciferníky se popisují římskými číslicemi. Obvykle používají symbol IIII pro 4 a IX pro 9. Jednou se tak odečítací pravidlo neaplikuje a podruhé ano. Proč? Nabízí se několik vysvětlení:
    • Čtyřznakové IIII vytváří vizuální symetrii s VIII na druhé straně ciferníku, zatímco IV ne
    • IV jsou první dvě písmena jména boha Jupitera (IVPITER)

Microsoft Excel a římská čísla

Funkce:

  • =ROMAN(arabské číslo; forma zápisu) /viz soubor/
  • =ARABIC(římské číslo) (*od verze 2013 resp. 2016 pro MacOS)

Euklidův algoritmus

eul.alg


1-Číselné-soustavy-příklady (1)

Odkazy:

image_pdfimage_print